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Problem: Von einerGeraden kenne man zwei Punkte P 1 und P 2 • Man berechne Ihre Gleichung. Da die Gerade durch zwei Punkte eindeutig festgelegt ist, gibt es nur eine Lösung. x2 • Die Gerade muß offenbar parallel zur y-Axe sein. In ihrer allgemeinen Gleichung ist B=O,A:j::O. x2 nur: Ax1 +C=0 42 Kapitel I • Punkt und Gerade in der Ebene werden, was wieder auf x-x1 =0, respektive x-x 2 =0 führt. b) x1 :j: x 2 • Die Gerade ist nicht parallel zur y-Axe und besitzt die explizite Form der Gleichung: y=nx+p.

Jede Ebene besitzt eine solche. Im Falle d= 0 kann die Richtung der Normalen auf der Ebene beliebig gewählt werden. Die Gleichung ist aber in jedem der beiden möglichen Fälle bis auf das Vorzeichen dieselbe. Umgekehrt gehört zu jeder HESSEsehen Normalform eine und nur eine Ebene, da durch ~ 0 ,1) 0 ,Ca eindeutig eine Richtung von 0 aus festgelegt wird und durch d ein Punkt auf derselben. Durch diesen gibt es aber nur eine Ebene, senkrecht auf der Richtung. 18. Satz: Jede Ebene im Raume besitzt die HEssEseheN ormalform als Gleichung; und umgekehrt ist durch die HESSEsehe Normalform eine Ebene eindeutig festgelegt.

Für die ~ 2 + 'Y) 2 + C2 = 1 ist, stets die Richtungskosinusse eines bestimmten Vektors r, falls man seine Länge r = [r [ als bekannt voraussetzt, da sein Endpunkt P die Koordinaten 59 Koordinaten des Punktes im Raume hat. Ist r= 1, so heißt der Vektor ein Einheitsvektor e: Iel = 1. r;,C sind dann die Koordinaten des Endpunktes des Vektors e, und dieser hat die Gleichungen: r~,rr;,rC Die Endpunkte aller Vektoren mit denselben Richtungskosinussen liegen auf demselben Strahl von 0 aus. Gibt man allen drei Richtungskosinussen von t=OP das umgekehrte Vorzeichen, läßt aber Irl ungeändert, so müssen die Koordinaten x,y,z des Endpunktes in -x,-y,-z übergehen.

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